北师大版数学五年级上册《点阵中的规律》的教学实录

一、谈话引入

师：从小我们就学数数、用数字，那么对于数字的发明和发展过程，你们都哪些了解？（学生交流课前搜集的相关信息）

生1：古时候人们用石子来计数，比如打一只兔子就摆一块石子。

生2：还有用绳子打结的，有几个人就打几个结。

生3：我知道我们现在用的数字是印度人发明的，从阿拉伯传到我国的，所以叫阿拉伯数字。

师：大家了解的信息真不少！阿拉伯数字的发明，使我们的记录和计算更加方便，但是在表现数字的特征方面，有时候图形会更加直观。今天老师请来了一位图形朋友——点（老师在黑板上画点），看到这个点，你能快速地想到哪个数字？

生齐：1。

师：不要小看了这个小小的点，早在2000多年前，古希腊的数学家们就是从这样一个小小的点开始研究，发现了由许多个这样的点组成的图形中的规律，还给这些图形取了一个好听的名字，叫点阵。同学们想不想过一把当数学家的瘾，自己来寻找这些规律？

生齐：想。

师：今天，我们就一起来探究点阵中隐含的规律。（板书课题：点阵中的规律）

二、探究正方形点阵中的规律

1、探究一组正方形点阵的规律。

师：我们一起来看看数学家们当年研究的点阵图，边看边说出各个点阵的点子数。

（依次出示前四个正方形点阵图，并逐步引导学生想像、猜测：下一个点阵图会是什么样子呢？）

生：第一个是1个点；第二个是4个点；

师：在心里想第三个、第四个点阵图是什么样子。（示图）与你的想像一样吗？

生1：一样。就是9个点。

生2：我知道第四个点阵有16个点，肯定是的。

（随着点阵图的依次出现，学生的思维逐渐活跃，当第三个点阵图出现的时候，学生不用数，已经忍不住地说出了点数。说明学生已经发现了这组正方形点阵中的规律。但这时，教师没有急于让学生发表自己的看法，而是给学生留出了完善自己想法的时间，同时也暗示学生：规律的呈现不能依靠一个或几个图形来归纳，应该有耐心地继续自己的观察活动。）

师：除了能说出各个点阵的点数之外，仔细观察点阵图：你们还有什么其它的发现？

生1：第一个点阵是1个点，其余的都是正方形的。

生2：我发现从第一个图开始点子数分别是加3、加5、加7。

生3：我发现它们的点子数能写成1×1、2×2、3×3、4×4。

师：你们真了不起！这种形状的`点阵就是正方形点阵，大家不但用数字表示每个点阵的点数，还能用算式来表示这组点阵的规律。根据刚才发现的规律，想一想：第五个点阵是什么样子呢？自己画出来，并用算式表示点数。

（学生活动：独立画出第五个5×5的点阵图，全班交流。）

师：照这样的规律继续画下去，第9个点阵的点数如何用算式来表示？第100个呢？第n个呢？在小组内交流一下。

生：第九个点阵表示为9×9；

第100个点阵表示为100×100；

第n个点阵就表示为n×n。

（结合发现的规律，引导学生逐步完善自己的想法，建立总结正方形点阵规律的模型。）

师：那么你们觉得每个正方形点阵的点子总数与什么有关系？在小组内讨论交流。

生1：点子总数与正方形点阵每一排的点子数有关系。

生2：就是边长乘边长。

生3：还与是第几个有关系，第一个就是1×1，第二个就是2×2，第三个就是3×3，一直这样数下去。

（学会用简单的语言表述自己的想法，使得初步的形象感知得到提升）

师：说得真好！每个正方形点阵的点子总数可以看作是一个相同数字相乘的积，这个数字与点阵的序号有关，与每个正方形点阵每排的点子数也有关系。

2、同一个点阵的不同划分中的规律。

师：刚才我们研究了一组正方形点阵中隐含的规律，那么对于同一个点阵来说，如果划分的方法不同，所呈现的规律也就不同。

请大家仔细观察第五个正方形点阵中点的划分方法，你能发现什么规律？与同桌交流你的想法。

生1：我发现都是用折线分开的。

生2：我发现从短的线开始，每条线内的点分别是1、3、5、7、9。

生3：这个正方形点阵的点数用算式表示就是：1＋3＋5＋7＋9=25。

师：大家的发现真不少！那如果把每条线所包围的点子数记下来，如何用算式来表示？

学生汇报：

第一条线：1 = 1；

第二条线：1＋3 = 4；

第三条线：1＋3＋5 = 9；

第四条线：1＋3＋5＋7 = 16；

第五条线：1＋3＋5＋7＋9 = 25；

师：你们觉得这组算式有什么特点？

生1：一个算式比一个算式多加一个数。

生2：它们的得数正好是刚才那一排点阵的点子数。

生3：都是连续的奇数在相加。

师：是从几开始的连续奇数呢？

生：是从1开始的连续奇数在相加。

师：如果按这样的划分方法划分第六个正方形点阵，它的点数该如何用算式来表示？

生：1＋3＋5＋7＋9＋11 ＝ 36。

师：刚才我们是把这个5×5的正方形点阵用折线进行了划分，你们还有哪些不同的划分的方法？如何用算式表示？在小组内研究一下。